Function Maps: A Flexible Representation of Maps Between Shapes-白红宇

Function Maps: A Flexible Representation of Maps Between Shapes

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发布时间：2019-05-24

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1) 图1，先通过discriptor算出每点的值，然后算出function map，即matrix $C$ . 左图是说明discriptor每有区分左右，中图加了对应约束使其左右交换，右图为了说明function map满足代数运算，左图减去中图就得到保方向的function map

2) section 4

注意 $f, g$

$f,g$ 是从manifold上面到实数的函数，

T,T−1 T , T − 1 $T, T^{-1}$ 是从一个manifold到另一个manifold人映射，

TF,T−1F T F , T F − 1 $T_F, T_F^{-1}$ 是从一个函数到另一个函数的映射。

$T_F(f) = g = f\circ T^{-1}$

3) Note that $C$ has a particularly … $c_{i j} =< T_{F} (ϕ_{i}^{M}), ϕ_{j}^{N} >$

(

)

$c_{ij}=<T_F(\phi^M_i), \phi^N_j>$

只有正交的时候内积才是投影

4）图2主要说明near-isometric maps 的funtion map是一个稀疏，大体对角的矩阵。

5) 5.1 Indeed, … applications.

基为每点单色，但是基的数量会很多，并不compact. 然后图3阐述了不同数量的eigenvector作为基，最后得到的平均geodesic error.

关键句： maps that correspond to bigger deformations require more basis vectors, capturing the intuition that near-isometric maps are more compactly represented.

Note that the eigenfunctions of the unweighted discretization of Laplace-Beltrami operator provide a more compact representation of the map for the same quality of reconstruction.

6) 图4主要说明near-isometric maps induce matrices that are nearly sparse

the functional matrix

C C $C$ stops being diagonal very quickly under even mild non-isometric deformations.

7) 图5主要说明functional representation的连续性，这里通过插值的方式表现出来

8) 5.3讲各种constraints

9) Theorem5.1 看后面附录的证明，

C_{i, j} =< T_{F} (ϕ_{i}^{M}), ϕ_{j}^{N} >= \int_{N} ϕ_{i}^{M} \circ T^{- 1} (y) ϕ^{N} (y) μ^{N} (y)

$C_{i,j} = <T_F(\phi^M_i),\phi^N_j>=\int _N \phi^M_i\circ T^{-1}(y)\phi^N(y)\mu ^N(y)$

Dj,i=<SF(ϕNj),ϕMi>=∫MϕNj∘T(x)ϕM(x)μM(x) D j , i =< S F ( ϕ j N ) , ϕ i M >= ∫ M ϕ j N ∘ T ( x ) ϕ M ( x ) μ M ( x ) $D_{j,i} = <S_F(\phi^N_j),\phi^M_i>=\int _M \phi^N_j\circ T(x)\phi^M(x)\mu ^M(x)$

里面积分式一样，外面体积一样，所以 $C = D^T$

10) 6.1 事件复杂度,建树 $O(V_NlogV_N)$ ，查找 $O(V_MlogV_N)$

这里我想说说如何从函数的映射关系推导出点对点的映射关系，

注意看

δ δ $\delta$ 函数在基下面的映射

δx=limt→∞e−tλiϕMi(x)ϕNi(⋅) δ x = l i m t → ∞ e − t λ i ϕ i M ( x ) ϕ i N ( ⋅ ) $\delta_x = lim_{t\rightarrow \infty}e^{-t\lambda_i \phi^M_i(x)\phi^N_i(\cdot)}$ ,

推导见【A Concise and Provably Informative Multi-Scale Signature

Based on Heat Diffusion】

当 $t\rightarrow0$ 时， $e^{-t\lambda_i }$ 趋于1，所以在点x处的 $\delta$ 函数在Laplacian-Beltrami基下面（ $B_M \times V_M$ ， $B_M$ 为LB基的数量）的系数为 $\phi_i^M(x)$ ,即矩阵 $\phi$ 第x列，该系数向量共有 $B_M$ 个。

然后矩阵 $C$ 是将 $B_{M}$

$B_M$ 维的系数转到

BN B N $B_N$ 维上的系数， (假设的

C C $C$ 维数是

B_{M} \times B_{N}

$B_M \times B_N$ , 根据需要自己转置，反正就是从一个基的维度转到另一个基的维度)，然后这里的系数刚好又是

ϕM ϕ M $\phi_M$ .

后面那个公式说明函数的差值跟系数差值成正比，所以为了找出M上一点x对应于N上的某一点，只需要找出 $\delta_x$ 的系数，然后通过矩阵 $C$ ，转到N下面的系数，再于N下面 $δ$

$\delta$ 函数的系数作比较，找出系数差距最小，即找到了函数值差距最小。

整个过程是，对于M上的某一点x, 其 $\delta_x$ 函数即在M的LB基下面的系数为 $\phi^M(x)$ , 转到N的LB基下的系数为 $C\phi_i^M(x)$ ，该向量为 $B_N \times 1$ 维,然后与N的LB基的每一列 $\phi^N(y)$ 算距离（ $\phi^N$ 的维数为 $B_N \times V_N$ ），距离出最小的第y列，即为x的对应点。